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By Hille E.

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Mesures définies par des densités numériques I . Fonctions localement intégrables PROPOSITION 1. -Soit g une fonction déjnie localement presque partout dans T (pour la mesure positive p), à valeurs dans un espace de Banach F (resp. dans R). Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) Pour tout point t E T, il existe un voisinage V de t tel que la fonction gcpv soit p-intégrable. 42 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, 55 b) La fonction g est p-mesurable et, pour tout ensemble compact K c T, on a J* jg(cpKdp < + m.

G') soit égale a n (resp. g) localement presque partout pour p. Alors le couple (nt,g') est p-adapté, les mesures A, = g(t)e,(,, et Ai = gf(t)e,,(,, sont égales localement presque partout, et on a S g(t)r,(,, dp(t) = S gl(t)e,,(,,dp(t). Si maintenant n' et g' sont seulement définies localement presque partout (pour p), et s'il existe un couple p-adapté (TC,g) tel que TC' (resp. g') soit égale à n (resp. g) localement presque partout, on dit encore que le couple (TC', g') est p-adapté, et on pose alors (cf.

13). Comme Si est p-dense dans S, la restriction de n à S est mesurable. - - Nous utiliserons le lemme suivant: Lemme 1. -Soient T et X deux espaces topologiques, rc une application continue propre (Top. , chap. , Ç; 10, déf. 1) de T dans X. Soit g une fonction numkrique semi-continue inferieurement, &finie dans T. Pour tout x E X, soit f (x) la borne inférieure de la jonction g ( t ) dans Z'ensernhle kl(x) (borne inféricure égale à +cc, si %'(x) = cf. , chap. III, 3 1, no 9). Alors f e s t semicontinut.

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by Richard
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