Prof. Dr. Michael Růžička (auth.)'s Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einfuhrung PDF

By Prof. Dr. Michael Růžička (auth.)

ISBN-10: 3540200665

ISBN-13: 9783540200666

ISBN-10: 3540350225

ISBN-13: 9783540350224

Das vorliegende Lehrbuch enthält eine Einführung in die nichtlineare Funktionalanalysis. Die Themenauswahl beinhaltet Methoden und Techniken, die, neben dem allgemeinen Interesse, bei der Untersuchung von nichtlinearen elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen benutzt werden. Es wird insbesondere auf Fixpunktsätze, Differentiation und Integration in Banachräumen, monotone Operatoren und den Abbildungsgrad eingegangen. Der Darstellung des Stoffes liegt das Zusammenspiel und die gegenseitige Beeinflussung von Theorie und Anwendungen zugrunde. Kurze Einführungen am Kapitelanfang, illustrative Beispiele sowie die detaillierte Herleitung von Ergebnissen erleichtern das Verständnis. Ein Appendix mit einer Kurzzusammenfassung von Ergebnissen aus der linearen Funktionalanalysis rundet die Darstellung ab. Das Buch richtet sich an Studierende ab dem 6. Semester und umfasst den Lehrstoff für ein Semester.

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H. es existiert ein x0 ∈ B mit f (x0 ) = x0 . f (x) ≤ 22 1 Fixpunkts¨ atze Dies kann man auch schreiben als x0 − U (x0 ) = 1 1 − x0 2 y0 . 35) Es sind drei F¨ alle zu unterscheiden: 1. 35) 0= 1 y0 , 2 was nicht m¨ oglich ist, da y0 ein Basisvektor ist. 2. 35) erhalten wir x0 = U (x0 ) . 34) umschreiben als: i∈Z |αi |2 = 1 k¨onnen wir dies mithilfe von ∞ ∞ αi yi = i=−∞ αi yi+1 . h. alle αj sind gleich, und somit ergibt sich der Widerspruch |αj |2 = ∞ = 1 . j∈Z 3. 35) ergibt aber: (αi − αi−1 ) yi = i∈Z i∈Z |αi |2 < 1 gelten muss.

B) dim X < ∞ , T ist stetig und M ist abgeschlossen. Der folgende Satz zeigt, in welchem Sinne kompakte Operatoren durch endlich–dimensionale“ Operatoren angen¨ ahert werden k¨onnen. 37 Satz. Seien X und Y Banachr¨ aume, M ⊂ X eine nichtleere, beschr¨ ankte Teilmenge und T : M → Y ein Operator. Dann sind ¨ aquivalent: 24 1 Fixpunkts¨ atze (i) T ist kompakt. (ii) F¨ ur alle n ∈ N existiert ein kompakter Operator Pn : M → Y , dessen Bildbereich R(Pn ) in einem endlich–dimensionalen Teilraum von Y liegt.

66) zu erhalten, muss man 0 ≤ α < 1 und die Young–Ungleichung (cf. 2) benutzen. 2 Integration und Differentiation in Banachr¨ aumen Ziel dieses Kapitels ist es, die Integrations- und Differentiationstheorie reeller vektorwertiger Funktionen f : Ω ⊆ Rd → Rm auf Funktionen f : Ω ⊆ Rd → X , mit Werten in einem Banachraum X zu erweitern. Insbesondere werden das Lebesgue–Integral Ω f i (x) dx, i = 1, . . , m, mit f = (f 1 , . . , f m ), die pari ∂f tiellen Ableitungen ∂x (x), i = 1, . . , m, j = 1, .

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by Christopher
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